Partie réelle, partie imaginaire - Corrigé

Énoncé

Pour tout $z\in \mathbb{C}$ , exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de  $z^2-3i$ en fonction des parties réelle et imaginaire de  $z$ .

Correction

Soit  $x$ et  $y$ des réels tels que $z=x+iy$ , on a $x=\text{Re}(z)$  et $y=\text{Im}(z)$ .

On a $z^2-3i=(x+iy{)}^2-3i=x^2+2xyi-y^2-3i=x^2-y^2+i(2xy-3)$ .

Donc $\text{Re}(z^2-3)=\text{Re}(z{)}^2-\text{ Im}(z{)}^2$  et  $\text{Im}(z^2-3)=2\text{Re}(z)\text{Im}(z)-3$ .