Partie réelle, partie imaginaire - Corrigé

Énoncé

Pour tout `z \in \mathbb{C}` , exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de  `z^2 -3i` en fonction des parties réelle et imaginaire de  `z` .

Correction

Soit  `x` et  `y` des réels tels que `z=x+iy` , on a \(x=\text{Re}(z)\)  et `y=\text{Im}(z)` .

On a `z^2 -3i = (x+iy)^2 -3i = x^2 +2xyi -y^2 -3i = x^2 -y^2 + i(2xy-3)` .

Donc `\text{Re}(z^2-3) = \text{Re}(z)^2 -\text{ Im}(z)^2`  et  `\text{Im}(z^2-3) = 2 \text{Re}(z) \text{Im}(z)-3` .